Abschnitt Beweis ergaenzt

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Technik/Richtfunk/MSTP.page

@@ -35,7 +35,7 @@ Sobald also redundante Links vorhanden sind, müssen diese durch ein STP soweit
 
 Welche Switchports (und damit Richtfunkstrecken) konkret abgeschaltet werden, kann man durch die Konfiguration von Präferenzen für Root Bridge und Portkosten beeinflussen. Aber trotzdem ist eine solche Abschaltung ein Layer 2 Artefakt, das ganz offensichtlich das optimale Routing des Nutztraffics vereitelt: denn Pakete, die optimalerweise über eine durch (R)STP abgeschaltete (aber ansonsten funktionierende!) Richtfunkverbindung laufen würden, müssen jetzt einen Umweg nehmen.
 
-Wenn die Verbindungen eines solches Richtfunknetzes genug Bandbreite bei geringer Latenz bieten, dann bemerkt man eine solche Abschaltung vielleicht gar nicht. (In Hamburg bilden die real ex. Richtfunkstrecken vmtl. noch einen Baum, sodass (bisher) gar keine Abschaltung erforderlich ist.) Wenn man aber wie in Dortmund ein neues Richfunknetz mit den obigen Anforderungen konzipiert, dann wäre es schon gut, Suboptimalitäten wie insb. komplette Linkabschaltungen von vorneherein zu vermeiden.
+Wenn die Verbindungen eines solches Richtfunknetzes genug Bandbreite bei geringer Latenz bieten, dann bemerkt man eine solche Abschaltung vielleicht gar nicht. (In Hamburg bilden die real ex. Richtfunkstrecken vmtl. noch einen Baum, sodass (bisher) gar keine Abschaltung erforderlich ist.) Wenn man aber wie in Dortmund ein neues Richtfunknetz mit den obigen Anforderungen konzipiert, dann wäre es schon gut, Suboptimalitäten wie insb. komplette Linkabschaltungen von vorneherein zu vermeiden.
 
 # MSTP
 
@@ -72,7 +72,7 @@ Die unvermeidlichen Linkabschaltungen betreffen nur die VLANs dieser MST-Instanz
 Alle P2P-VLANs (über die das optimale Routing laufen soll) existieren nur auf je einem Link (um
 Router zu verbinden). Wenn man nun die Nutz-VLANs einfach alle in der MST-Instanz 0 belässt (das ist der default), dann gibt es doch wieder Linkabschaltungen. Denn in diesem Fall ist ein einzelner Spannbaum (der CIST) für alle Links zwischen den Standorten zuständig, und dann müssen redundante Links (in der MST-Instanz 0) abgeschaltet werden.
 
-Es werden also P2P-VLANs abgeschaltet, und das genau das wollten wir wg. des resultierenden suboptimalen Routings vermeiden. Daher müssen wir die P2P-VLANs "irgendwie" auf mehrere MST-Instanzen so verteilen, dass es nicht zu Linkabschaltungen kommt.
+Es werden also P2P-VLANs abgeschaltet, und genau das wollten wir wg. des resultierenden suboptimalen Routings vermeiden. Daher müssen wir die P2P-VLANs "irgendwie" auf mehrere MST-Instanzen so verteilen, dass es nicht zu Linkabschaltungen kommt.
 
 ### Die Verteilung der P2P-VLANs auf MST-Instanzen
 
@@ -115,7 +115,7 @@ Definition:
 
 := eine Menge schleifenfreier, zusammenhängender Teilgraphen ("Instanzen") von G, wobei jede Kante von G in genau einer Instanz enthalten ist.
 
-Praktisch bedeutet das Finden einer solche Zerlegung eine Möglichkeit, die Spannbäume in dem Layer 2 Netz so zu wählen, dass jede Kante zu einem von ihnen gehört. Denn dann repräsentiert diese Kante (als Teil eines Spannbaums) einen aktiven Link, über den Nutztraffic transportieren werden kann. Damit kommt es nicht mehr zur Vollabschaltung irgendeines Richtfunklinks, sondern alle P2P-VLANs sind aktiv.
+Praktisch bedeutet das Finden einer solche Zerlegung eine Möglichkeit, die Spannbäume in dem Layer 2 Netz so zu wählen, dass jede Kante zu einem von ihnen gehört. Denn dann repräsentiert diese Kante (als Teil eines Spannbaums) einen aktiven Link, über den Nutztraffic transportiert werden kann. Damit kommt es nicht mehr zur Vollabschaltung irgendeines Richtfunklinks, sondern alle P2P-VLANs sind aktiv.
 
 ### Vermutung: einen vollständigen Graphen mit n Knoten (Kn) kann man in n/2 Instanzen zerlegen
 
@@ -123,24 +123,42 @@ Dabei ist n eine gerade Zahl. (Bei ungeradem n betrachtet man den Kn als Teilgra
 
 ### Beweis (konstruktive Induktion)
 
+#### Notation
+
+n: 	Anzahl der Knoten des betrachteten Graphen  
+K~n~: 	vollständiger Graph mit n Knoten  
+V(G): 	Menge der Knoten eines Graphen G (Knotenmenge)  
+v~1~ ... v~n~: die einzelnen Knoten eines Graphen mit n Knoten  
+M~1~, M~2~ : Teilmengen einer Knotenmenge  
+m~1~, m~2~ :  einzelne Knoten aus der Menge M~1~ bzw. M~2~  
+
 #### Induktionsanfang
 
-Für n=2 reicht 2/2 = 1 Instanz. Das ist trivial, da der K2 nur eine Kante hat.
+![](/tmp/mstp1.svg)
+
+Für n=2 reicht 2/2 = 1 Instanz. Das ist trivial, da der K~2~ nur eine Kante hat.
 
 #### Induktionsvoraussetzung
 
-Kn sei in n/2 Instanzen zerlegbar.
+K~n~ sei in n/2 Instanzen zerlegbar.
 
 #### Induktionsschritt (= Konstruktionsalgorithmus)
 
-1. Man teilt die Knotenmenge von Kn (V(Kn) = { v1, ..., vn }) in zwei disjunkte Mengen M1 und M2 mit |M1| = |M2| = n/2. Dann ist V(K(n+2)) = M1 + M2 + { v(n+1), v(n+2) }.
+![](/tmp/mstp2.svg)
+
+1. Man teilt die Knotenmenge von K~n~ in zwei gleich große Teilmengen M~1~ und M~2~.  
+   V(K~n~) = { v~1~, ..., v~n~ } = M~1~ ∪ M~2~, wobei |M~1~| = |M~2~| = n/2  
+   Dann ist V(K~n+2~) = M~1~ ∪ M~2~ ∪ { v~n+1~, v~n+2~ }
+
+2. Jede der n/2 Instanzen von K~n~ wird um je eine Kante zu v~n+1~ und v~n+2~ erweitert, wobei v~n+1~ mit einem Knoten aus M~1~ und v~n+2~ mit einem Knoten aus M~2~ verbunden wird. Das Resultat ist eine Instanz von K~n+2~.
+
+3. Die Instanz n/2 + 1 bildet man aus der Kante (v~n+1~, v~n+2~), sowie den Kanten (v~n+1~, m~2~) für alle Knoten m~2~ aus M~2~, und entsprechend (v~n+2~, m~1~) für alle m~1~ aus M~1~.
 
-2. Jede der n/2 Instanzen von Kn wird um je eine Kante zu v(n+1) und v(n+2) erweitert, wobei v(n+1) mit einem Knoten aus M1 und v(n+2) mit einem Knoten aus M2 verbunden wird. Das Resultat ist eine Instanz von
-K(n+2).
+Damit sind alle Kanten, die durch die Erweiterung des K~n~ zum K~n+2~ hinzugekommen sind, Teil einer der mit 2. bzw. 3. konstruierten Instanzen von K~n+2~. K~n+2~ lässt sich also in n/2 + 1 Instanzen zerlegen, wenn eine Zerlegung von K~n~ in n/2 Instanzen bekannt ist.
 
-3. Die Instanz n/2 + 1 bildet man aus der Kante (v(n+1), v(n+2)), sowie den Kanten (v(n+1), m2) für alle Knoten m2 aus M2, und entsprechend (v(n+2), m1) für alle m1 aus M1.
+![](/tmp/mstp3.svg) 
 
-Damit sind alle Kanten, die durch die Erweiterung des Kn zum K(n+2) hinzugekommen sind, Teil einer der mit 2. bzw. 3. konstruierten Instanzen von K(n+2). K(n+2) lässt sich also in n/2 + 1 Instanzen zerlegen, wenn eine Zerlegung von Kn in n/2 Instanzen bekannt ist.
+![](/tmp/mstp5.svg)
 
 #### Fazit